一个老三届毕业生的数学探索之旅(二十四)

胡天佑

 

谨以此文献给佛山一中所有老师,你们凭渊博的学识,用辛勤的劳动锤炼出我们扎实的文化基础、强健的体魄和吃苦耐劳、乐观向上的精神。

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我陆续收到《美国数学学会交流》和西班牙《数学文集》编辑部的论文录用通知。特别是《美国数学学会交流》所附审稿人的评论令我非常兴奋“文章的想法是原创的而且非常重要,用的是组合方法,……, 我认为这是该领域最优秀的论文之一从而强烈推荐发表。”真要谢谢审稿人因为我的文章写得很繁, 很难读。2000年这个领域有几个专家合写了一篇《贝努利卷积的六十年》,总结六十年来在这方面的主要研究工作,前年又有一篇类似文章发表,我的这篇论文都被收录其中。有意思的是我大前年退休后,由于这篇文章而认识了一位颇优秀的80后,他从另一个全新的角度出发去考虑这个问题,并由此一起愉快合作出一篇论文。在西班牙《数学文集》发表的文章也获好评,95年发表今年还被引用。其实上述也只是“王婆卖瓜”,因为要写这篇回忆只好努力挖出一些尘封往事来晒一晒,这些东西在我的小领域只是九牛一毛微不足道。在数学的大领域,对那些天才大师们不朽之作,我们绝大多数人只能仰视和欣赏,穷毕生之力也不可即。就算我这小领域,有趣迷人的问题也多之又多层出不穷,但囿于自己的能力、悟性、天分和基础,对这些问题都是束手无策、望洋兴叹,只能找一些做得动的小问题来做。周围则是“高手如云”,对领域有较大影响的文章不断出现。当然自己不可能也不必跟那些牛人比,自己只能跟自己比,尽最大努力希望能不断做出一点新东西。正如我国成千上万的跨栏运动员,他们明明知道无论怎样努力,这辈子都不会达到刘翔的水平,甚至连国家或省市的纪录都不可能达到。但他们都尽自己最大努力去争取自己最好的成绩,享受不断进步的喜悦和快乐。

96年开始刘家成教授回母校香港中文大学数学系担任系主任和客座教授,除本科教学外,他还要带一批硕士生、博士生,每一两年我也会获邀回去跟他以及他的博士生进行学术交流和合作。常回去的还有来自香港在匹兹堡大学比我晚几届的师弟倪思敏。刘教授在美国带出好多个博士生,由于种种原因最后跟着他做分形的只有我和倪思敏。当然除了我们刘教授还常常邀请国内外有名专家学者到访,活跃系里的学术气氛和开阔大家特别是那班博士生的眼界。有名华人学者中跟我熟悉的有法国的范爱华和美国的汪杨。刘教授的博士生中有几个跟我比较熟:董新汉、王向阳、何兴纲、邓起荣等。除了学术交流外大家有时还大话西游国内外新闻或小道消息或周末一起到菜市场买些东西回来聚餐。那时候对分形研究在国内刚兴起,有一群人在一起搞的,除了中文大学这一班,就只有武汉大学文志英教授及一班年青弟子:饶辉、丰德军、吴军等。他这班弟子经常来香港,所以讨论班里有时候很热闹,大家七嘴八舌互相启发。刘教授也非常欣赏他们的学术水平和能力。

98年春季我在美国的大学停薪留职到香港中文大学数学系任教一个学期。这次比去年两个星期的短期访问要长得多,心得和收获也更大。中文大学安排我上一个研究生课《分形几何的技巧》和一个本科生课《数学模型》。研究生课对我来说是驾轻就熟,因为那十年来,我一直在做这个东西。但《数学模型》我则是第一次教,需要多花点时间准备。为了让学生将来容易与外国人交流,中文大学采用粤语讲课但教材作业考试等全用英语。学生读书是很用功的,上课留心听讲,按时完成作业,还常常来办公室提问讨论,对老师也非常尊敬,这些中美学生都一样。但期末考试则比美国的严多了,在考试教室四个角都有校警站着监考,也不知道对学生是否有心理压力。

这个学期,我还与刘教授和在他指导下与他的博士生王向阳分别合作论文。就说说跟刘教授合作的那篇吧。上面说过当贝努利卷积的压缩比等于1/3时,它就称为康托尔测度,这也是贝努利卷积非常重要的一种情况。有一天一起吃午饭的时候,刘教授叫我尝试计算任意多个康托尔测度卷积的局部维数,因为我有这方面的计算经验。他说目前对不满足开集条件的自相似测度的重分形结构知之甚少,如果得到这个结果则对了解这个问题会有帮助。说干就干,我还是用组合的方法去计算,因为上一篇论文证明这方法是可行的。但各种可能的组合很多,计算起来很繁很烦,这也是做数学常常碰到的,华罗庚大师也说过“数学之门只有耐烦人能进去”。经过九九八十一天,结果终于出来了。不过对结果我不大相信因为它很奇怪:理论上已经证明出所有满足开集条件的自相似测度其局部维数的取值构成一个闭区间,与黄金分割率相关的贝努利卷积虽然不满足开集条件,但其局部维数的取值仍然是一个闭区间。而现在的结果却是:当参加卷积的康托尔测度多于三个时,其局部维数的取值不再是一个闭区间,而是含有一个孤立点。刘教授知道结果后也觉得奇怪,但他说这奇怪的现象也正好是论文的亮点,人们会去研究为什么会有这种现象,什么条件下才有这种现象,等等。我们认真检查计算方法和过程,刘教授也感叹计算很不容易,于是尽量简化一些计算和证明,并把论文重写。互相校对无误后投稿《应用数学进展》。也许是论文的结果比较重要,有可能引起同行的兴趣和讨论,两个月后我们即收到录用通知还被赞了一句:谢谢寄来一篇好文章,请常来稿。事实上论文发表后直到今年其结果确实一直引起国内外一些同行专家的兴趣和不断讨论。(未完待续)

 

来源:胡天佑回忆录

照片提供:胡教授夫人 宝琴

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