一个老三届毕业生的数学探索之旅 (十九)

胡天佑

 

谨以此文献给佛山一中所有老师,你们凭渊博的学识,用辛勤的劳动锤炼出我们扎实的文化基础、强健的体魄和吃苦耐劳、乐观向上的精神

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我认真读了《分形集合几何》开头三四章就开始找题目写论文。刘教授建议我尝试冲击书中提到的一个开放而悬而未决的问题:计算和证明维尔斯托拉斯函数的豪斯道夫维数。先解释几个数学概念:连续函数是它的图形能够一笔不间断地画出,不光滑函数是它的图形有锯齿。连续函数的图形里带有几个锯齿形状不难画出,维尔斯托拉斯函数是连续函数但处处都是锯齿,一段虽然看起来好像是直线,放大后细看还是处处锯齿。这就有点难以想象,因为锯齿太多,所占空间也就较大,它的分数维数也就大于1但小于2。分数维数有多种测量方法,豪斯道夫维数是大家习惯采用的对分数维数的最精细测量值。维尔斯托拉斯函数是由无穷个不同频率不同振幅的正弦函数(就是在中学里学的正弦函数)叠加而成。我真的用手工画出十来二十个这样的函数图形叠加,辨认模式,据此猜测无穷。知道我们在做这个难题,马沙尼教授特意打电话给上面提到的曼德勃罗特教授,希望得到启发。通话后马沙尼教授转告我们,曼德勃罗特教授说此题很难,因为构成维尔斯托拉斯函数中正弦函数频率高的部分无法估计。在解题过程中我也深知此是关键和难点,绞尽脑汁,苦苦思索,终于觉得通过函数曲线在水平轴的投影大小可以估计出这部分。于是兴奋地对刘教授说大有希望!听完详细汇报后刘教授马上叫我把证明写出来。经几个月反复推敲,几易其稿,证明初稿终于写出。搞科技的同行往往有这样的经验,从产生新想法到搞出新结果这段时间人会特别兴奋,废寝忘食全神投入。困难即将过去,曙光就在前面。接下来的工作是反复校对证明的每一步保证无误。有时候害怕出现的情况往往就会出现。我最后发现有一步证明有漏洞,而以前校对两次在这里都没看出问题,更麻烦的是我用尽所有办法都无法对它修复。我的心一下子沉了下去,说是功亏一篑也好,功败垂成亦罢,我颇有前功尽弃之感。当然,这种情形在科研中生活上并不少见。我怀着沮丧的心情向刘教授详细汇报一切。他安慰我几句,说让他先想一想。

不久,刘教授约我到他办公室,继续谈我的毕业论文问题。他首先肯定我的证明想法和技巧,说那个开放而悬而未决的问题做不出来不要紧,现在可以从以下三个方面去完成论文:

第一,把构成维尔斯托拉斯函数的正弦函数改为更简单的正弦函数的符号函数,即把正弦函数取正值部分改为常数1而取负值部分改为常数-1。这样一改得出的函数叫拉特马赫函数,也是一个经典的有名函数。他说用我的证明方法应当有办法计算和证明出拉特马赫函数无穷和的豪斯道夫维数。

第二,用类似办法计算和证明拉特马赫函数和的水平集之豪斯道夫维数。

第三,用我的证明思路定义一种新的分数维数测量方法,使得其测量值在测量函数曲线的分数维数时比其它测量方法得出的值更接近豪斯道夫维数。同时也要我对维尔斯托拉斯函数曲线的锯齿形状作更详细的分析。他说把这三部分写好应当是一篇很不错的毕业论文。听了刘教授的分析,心中为之一振,大大提高了我的勇气。我想一位好的博导最重要的就是在学生困难和迷茫的时候能引导他(她)走出去并朝正确的方向努力,最后能否成功则要看学生本人的能力。

按照刘教授的意见,通过对以前论文初稿修改整理,我很快把刘教授要写的第一部分写出来,两人反复校对确定无误,题目定为《拉特马赫函数的和以及豪斯道夫维数》。论文寄到英国剑桥大学出版社出版的《剑桥哲理学会数学论文集》。也许因为论文与那个开放而悬而未决的问题有密切联系,不少人都有兴趣,两个月后我们就收到编辑部的录用通知。初战得胜,士气大振。接着就分别写刘教授建议的第二部分和第三部分,还要把三部分综合成一篇完整的毕业论文。最后的一年是在忙碌、紧张、兴奋和期盼中度过。第二部分定题目为《拉特马赫序列水平集的豪斯道夫维数》,文章投到《波兰科学数学期刊》。第三部分,也是毕业论文主要部分,题目是《维尔斯托拉斯类型函数的分数维数和奇异性》,论文寄到《美国数学学会交流》。

论文答辩一般不会有什么问题,只要有东西摆着,教授们是不会为难你的。难的是找工作!匹大并非名校,我的研究更非一流。况且美国大学每年培养出大量博士而高校教学职缺十分有限,僧多粥少,往往一个职位收到几十封上百封求职信。美国数学会每年都出版求职杂志和组织求职年会,不少需要招人的大学会派人到年会摆摊,直接跟求职博士面谈。从阿拉斯加到夏威夷,我对每一所要招人的大学都寄去一份求职信,希望能幸运谋到一教职,好在美国安身养家,让女儿将来有机会在美国发展,也不枉自己多年苦读。二月底,我接到比尔教授从威斯康星大学格林贝校区打来电话,问我是否对他们学校仍有兴趣,我说是。然后他简单问了我几个有关教学和科研的问题,说他们对我的求职申请有兴趣。几天后,他又来电话,邀请我买飞机票尽快到他们学校面试。这是可喜的第一步。一般他们会在几十封求职信中选出三四个他们喜欢的候选人到学校面试一天,然后再定聘其中一位。面试中最重要的一环是考核候选人的讲课能力,看你能否用四十五分钟把你的科研基本讲清楚,材料组织是否有条理,口齿是否基本流利,过程中与听众互动和眼神交流是否良好,等等。面试过程中候选人要回答各种各样的问题,包括教学、辅导、科研、生活、爱好等。他们要考察你是否容易相处,来后是否安心,以及将来顺利晋升副教授和教授的可能性。当然,候选人也会考虑这个学校和同事是否适合自己,将来发展如何,等等。当然,这些是在你有另外选择的时候才有意义。我走的时候系主任温格教授送我并一起吃饭。温格教授是匹大老校友,学应用数学。因为系里跟北京师范大学有学术交流,曾去过中国两次,对中国人特别热情。他说他对我的面试很满意,但最后结果要等系里开会后才能定。回来后很快我就收到他们学校寄来的聘书,开始了我在美国教书的漫长岁月。(未完待续)

来源:胡天佑回忆录

编辑:《密城时报》编辑部

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